Diseño óptimo de dispositivos termo-electro-mecánicos y sus aplicaciones en ingeniería

Abstract

Este trabajo se enfoca en el diseño de dispositivos termo-electro-mecánicos mediante técnicas de diseño óptimo. En particular, se considera la utilización de una técnica de optimización estructural topológica basada en el concepto de derivada topológica. El objetivo particular de este trabajo es obtener diseños geométricos óptimos (según alguna medida de desempeño) de actuadores electro-termo-mecánicos, considerando el efecto de calentamiento Joule en un sistema elástico. El análisis se focaliza en problemas de diseño bidimensionales usando modelos cinemáticos y constitutivos lineales acoplados débilmente. Este acoplamiento se manifiesta cuando el campo de solución del problema eléctrico afecta al problema térmico a través de la propiedad constitutiva de conducción eléctrica y, a su vez, este genera deformación elástica (problema mecánico) debido a la expansión térmica. En el análisis asintótico se utiliza una técnica novedosa que permite tratar problemas lineales, como así también los no lineales, considerando una perturbación circular en las propiedades constitutivas de los materiales. La principal herramienta de la técnica consiste en escribir todo el problema de optimización topológica con un formalismo Lagrangeano, desde el punto de vista de optimización, para luego realizar las variaciones del funcional. Una vez completada esta etapa, se procede a estudiar la sensibilidad a un cambio topológico del sistema de ecuaciones diferenciales acopladas, utilizando una técnica clásica, tanto para los estados directos como los adjuntos. Todo ello permitió obtener una forma analítica y cerrada de la derivada topológica para esta clase particular de problemas de ingeniería. Se presenta una justificación matemática rigurosa de la expansión asintótica topológica de la función de costo realizando estimativas precisas de los residuos de dicha expansión. Se realizó también un procedimiento numérico para la validación de la expresión analítica de la derivada topológica obtenida, mostrando una buena concordancia entre la aproximación numérica y el valor teórico. Tanto en la validación numérica como en los ejemplos de aplicación considerados en esta tesis, las soluciones de las ecuaciones de estado (tanto directo como adjunto) se obtienen mediante el método de los elementos finitos. La solución computacional del problema de diseño óptimo de los dispositivos se logra mediante un algoritmo de optimización topológica basado en la evolución de curvas level-set guiadas por la derivada topológica asociada al problema. Se destaca, finalmente, que el problema tratado en este trabajo no se encuentra reportado en la literatura existente y constituye uno de los pocos avances que se han logrado hasta el momento en el campo del análisis de sensibilidad topológico en problemas no-lineales de ecuaciones diferenciales parciales acopladas. iv