Análisis de las distribuciones de retornos y efectos de tamaño finito para un modelo de urnas

Abstract

En este trabajo se presenta un modelo de urnas que combina dos modelos clásicos: el de Ehrenfest y el del votante, ambos modelos estocásticos que han sido ampliamente utilizados para describir sistemas físicos. En cada uno se consideran dos urnas y un número finito N de elementos distribuidos en ellas. Cada modelo define una evolución temporal diferente que modifica de manera aleatoria la distribución de los elementos. En particular, en cada paso temporal, hay una probabilidad α de que la evolución sea la correspondiente al modelo de Ehrenfest y 1 − α de que sea del modelo del votante. Se supone que para este sistema la distribución de los tamaños de fluctuaciones respecto al estado de equilibrio sigue una ley de potencias cuando N tiende a infinito. En este trabajo verificamos numéricamente dicho comportamiento para diferentes valores de N y α. Además analizamos la distribución de retornos, que se define como la distribución de la diferencia de fluctuaciones consecutivas. Esta distribución está asociada a distribuciones del tipo q-Gaussiana cuando la distribución de las fluctuaciones sigue una ley de potencias. Relacionando el parámetro q con el exponente de la ley de potencias y considerando los efectos de tamaño finito, comprobamos numéricamente que las distribuciones de retorno pueden relacionarse con una combinación de Gaussianas y q-Gaussianas, donde el aporte Gaussiano disminuye a medida que N aumenta.

This work presents a model of urns that combines two classic models: the Ehrenfest model and the voter model, both stochastic models widely used to describe physical systems. In each model, two urns and a finite number N of elements distributed among them are considered. Each model defines a different temporal evolution that randomly modifies the distribution of the elements. In particular, at each time step, there is a probability α that the evolution follows the Ehrenfest model and $1- α that it follows the voter model. It is assumed that for this system, the distribution of fluctuation sizes concerning the equilibrium state follows a power law as N tends to infinity. In this work, we numerically verify this behavior for different values of N and α. Additionally, we analyze the distribution of returns, defined as the distribution of the difference between consecutive fluctuations. This distribution is associated with q-Gaussian distributions when the distribution of fluctuations follows a power law. By relating the parameter q to the exponent of the power law and considering finite size effects, we numerically confirm that return distributions can be related to a combination of Gaussians and q-Gaussians, where the Gaussian contribution decreases as N increases.