Grafos de Frobenius-Perron para categorías de fusión

Abstract

Sea C una categoría de fusión íntegra, en este trabajo se estudian algunos grafos, llamados el grafo primo y el grafo común divisor, relacionados con las dimensiones de Frobenius-Perron de los objetos simples de C. Estos grafos generalizan los grafos correspondientes asociados a los caracteres irreducibles y a los órdenes de las clases de conjugación en un grupo finito. Se describen los grafos en distintos casos específicos, entre otros, cuando C es una equivariantización bajo la acción de un grupo finito, una categoría 2-pasos nilpotente, y la categoría de representaciones de un doble de Drinfeld torcido de un grupo finito. Se demuestran generalizaciones al contexto de las categorías de fusión íntegras de resultados sobre el número de componentes conexas de los grafos correspondientes para grupos finitos. En particular, se prueba que si C es una categoría íntegra trenzada no degenerada, entonces el grafo primo de C tiene a lo sumo 3 componentes conexas, y tiene a lo sumo 2 componentes conexas si C es además resoluble. Como aplicación de los resultados principales, se demuestra un resultado de clasificación para categorías de fusión débilmente íntegras tales que las dimensiones de sus objetos simples son todas potencias de números primos.

Let C be an integral fusion category. In this work, we study some graphs, called the prime graph and the common divisor graph, related to the Frobenius-Perron dimensions of simple objects of C. This graphs extend the corresponding graphs associated to the irreducible character degrees and the conjugacy class sizes of a nite group. We describe these graphs in several cases, among others, when C is an equivariantization under the action of a nite group, a 2-step nilpotent fusion category, and the representation category of a twisted quantum double. We prove generalizations of known results on the number of connected components of the corresponding graphs for nite groups in the context of braided fusion categories. In particular, we show that if C is any integral nondegenerate braided fusion category, then the prime graph of C has at most 3 connected components, and it has at most 2 connected components if C is in addition solvable. As an application we prove a classi cation result for weakly integral braided fusion categories all of whose simple objects have prime power Frobenius- Perron dimension.