Aportes a la clasificación de álgebras de Hopf punteadas de dimensión de Gelfand-Kirillov finita

Abstract

Esta tesis es un aporte a la clasificación de las álgebras de Hopf punteadas de dimensión de Gelfand-Kirillov finita sobre cuerpos algebraicamente cerrados y de característica cero. En una primera instancia nos concentramos en álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita sobre grupos no abelianos y cuya trenza infinitesimal no es simple. En este contexto, estudiamos un espacio vectorial trenzado particular que puede realizarse como módulo de Yetter-Drinfeld sobre una familia de grupos no abelianos y que da lugar a un álgebra de Nichols de dimensión finita. Con el objetivo de clasificar las álgebras de Hopf punteadas que tiene esta trenza infinitesimal, seguimos los pasos propuestos por el método del levante. Encontramos una presentación minimal del álgebra de Nichols, crucial para demostrar la validez de la conjetura de generación en grado 1 en nuestro contexto. Introducimos un álgebra de pre-Nichols distinguida que tiene dimensión de Gelfand-Kirillov 2 y es una extensión del álgebra de Nichols por una subálgebra de Hopf trenzada normal. Finalmente describimos todas las álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita cuya trenza infinitesimal es la trenza en cuestión; mas aún probamos que todas ellas son deformaciones por cociclo de la correspondiente bosonización del álgebra de Nichols. En la segunda parte de esta tesis consideramos dos familias de espacios vectoriales trenzados de tipo diagonal: los de tipo Cartan y los que tienen diagrama de Dynkin completamente disconexo. El objetivo es determinar, para cada una de estas trenzas, todas las álgebras de pre-Nichols de dimensión de Gelfand-Kirillov finita. Para ello introducimos la noción de álgebras de pre-Nichols eminentes. Mostramos que, salvo algunas excepciones, las álgebras de pre-Nichols distinguidas son eminentes. Este tratamiento se asienta en el conocimiento de las relaciones que definen, en cada caso, al álgebra de pre-Nichols distinguida, y las excepciones están relacionadas con fenómenos propios de los casos en los que intervienen raíces de la unidad de orden pequeño. Para dos de los casos excepcionales mencionados anteriormente, construimos álgebras de pre-Nichols eminentes que cubren propiamente a las correspondientes distinguidas.

In a first instance we focus on finite dimensional pointed Hopf algebras over non-abelian groups and with non-simple infinitesimal braiding.In this context we study a fixed braided vector space that can be realized as Yetter-Drinfeld module over a family of non-abelian groups, and it gives rise to a finite dimensional Nichols algebra. With the purpose of classifying finite dimensional pointed Hopf algebras with this fixed infinitesimal braiding, we follow the steps proposed by the Lifting method.We find a minimal presentation by generators and relations of the Nichols algebras, which will be crucial in our proof of the validity of the generation in degree one in this context. We introduce a distinguished pre-Nichols algebra, which has Gelfand-Kirillov dimension 2 and can be obtained as an extension of the Nichols algebra by a braided normal Hopf subalgebra. Finally, we describe all finite dimensional pointed Hopf algebras with this infinitesimal braiding, furthermore we show that all of them are cocycle deformations of the corresponding bosonization of the Nichols algebra. In the second part of this thesis we consider two families of braided vector spaces of diagonal type, namely: those of Cartan type and those with totally disconnected Dynkin diagram. The goal is to determine, for each of these braidings, all their pre-Nichols algebras with finite Gelfand-Kirillov dimension. With this purpose we introduce the notion of eminent pre-Nichols algebra. We show that, up to some exceptions, the distinguished pre-Nichols algebras are in fact eminent. This treatment is based on the knowledge of the defining relations of the distinguished pre-Nichols algebra, and the exceptions are related to particular phenomena that arise when roots of unity of small orders are involved. Eminent pre-Nichols algebras are constructed for two of the aforementioned exceptional cases.