Análisis armónico en nilvariedades

Abstract

Esta tesis se encuadra en el estudio del análisis armónico en pares de Gelfand de la forma (K,N), donde N es un grupo de Lie nilpotente y K es un subgrupo de automorfismos de N. En una primera parte trabajamos con una familia de pares de Gelfand (K,N) definida previamente por Jorge Lauret. Descomponemos la acción del producto semidirecto de K y N, sobre el espacio de funciones definidas sobre N de cuadrado integrable. Para estas familias, encontramos además la medida de Plancherel y la proyección sobre cada componente mediante las funciones esféricas asociadas al par. En el caso del grupo de Heisenberg se obtienen estos resultados para los pares de Gelfand asociados a cualquier K subgrupo de automorfismos del grupo de Heisenberg. Finalmente, nos avocamos al estudio de pares de Gelfand generalizados, es decir, a pares de Gelfand donde el subgrupo K no es necesariamente compacto. Un resultado clásico garantiza que si (K,N) es un par de Gelfand donde N es un grupo de Lie nilpotente y K subgrupo compacto de automorfismos de N, entonces N es a lo sumo 2-pasos nilpotente. En esta tesis, damos un ejemplo concreto de un par de Gelfand generalizado (K,N) donde N es un grupo de Lie 3-pasos nilpotente.

This thesis is part of the study of harmonic analysis in Gelfand pairs (K,N), where N is a nilpotent Lie group and K a subgroup of automorphisms of N. In the first part, we work with a family of Gelfand pairs (K,N) defined by Jorge Lauret. We decompose the action of the semidirect product of K and N in the space of square integrable functions defined on N. We also find the Plancherel measure and the projection over each component by using spherical functions associated to the pair. In the Heisenberg case we obtain similar results with every Gelfand pair associated with each automorphism subgroup of the Heisenberg group. Finally, we deal with the study of generalized Gelfand pairs, i.e when K is non-compact. A classic result assures that, if (K,N) is a Gelfand pair with N nilpotent and K compact then N is necessarily 2-step nilpotent. In this thesis, we give an explicit example of a generalized Gelfand pair (K,N) where N is a 3-step nilpotent Lie group.