Deformaciones y degeneraciones de álgebras de Lie

Abstract

El objeto de estudio de esta tesis es la variedad algebraica Ln, de todas las álgebras de Lie complejas de dimensión n y la subvariedad Nn de todas las álgebras de Lie nilpotentes en Ln. Para entender estas variedades se estudian las deformaciones y degeneraciones que ocurren dentro de Ln y Nn. Como objetivos particulares se investigan dos conjeturas famosas, conocidas como conjeturas de Vergne y Grunewald-O'Halloran, abiertas desde 1970 y 1993, respectivamente. Se prueba la conjetura de Grunewald-O'Halloran para las álgebras de Lie nilpotentes de rango ≥ 1, quedando abierta solo para las álgebras de Lie nilpotentes de rango 0. Para las nilpotentes de rango 0, se prueba la conjetura en dimensión 7 y para las álgebras de Lie filiformes de dimensión 8. Por último se estudia una familia muy especial, propuesta por Burde, de álgebras de Lie filiformes de rango 0 y dimensión ≥ 14. Estas álgebras tienen la particularidad que todos sus ideales de codimensión 1 son de rango 0, lo cual hace que construir deformaciones no triviales de éstas, sea un problema complicado. Para este tipo de álgebras se han logrado construir deformaciones no triviales, a partir de derivaciones nilpotentes de ideales de codimensión 1 de éstas.

The object of study of this thesis is the algebraic variety Ln of all complex Lie algebras of dimension n and the subvariety Nn of all nilpotent Lie algebras in Ln, with particular interest in the spaces of orbits associated with the action of the group GL (n,C) on Ln. To under-stand these varieties, deformations and degenerations that occur within Ln and Nn are studied. As specific objectives, two famous conjectures, known as Vergne conjecture and Grunewald-O’Halloran, open since 1970 and 1993 respectively are investigated. The Conjecture Grunewald-O’Halloran is demonstrated for all nilpotent Lie algebras that admit a semisimple derivation (rank ≥ 1) and for some families that no admit semisimple derivations (rank 0). Finally a very special family, given by Burde, of filiform Lie algebras of rank 0 and dimension n ≥ 14 are studied. These algebras have the particularity that all its ideals of codimension 1 are of rank 0, which does that to construct non trivial deformations is a complicated problem. For such algebras have been able to construct nontrivial deformations from nilpotent derivations of ideals of codimension 1 of these.