Análisis esférico matricial asociado a grupos nilpotentes

Abstract

Sea G un grupo de Lie y K un subgrupo compacto de G. La presente tesis está motivada por el problema de expresar, simultáneamente, en forma diagonal a todos los operadores lineales y acotados aplicados al espacio de secciones de cada fibrado vectorial homogéneo sobre G/K que son simétricos ante la acción de G. Como consecuencia del teorema del núcleo de Schwartz todos estos operadores G-invariantes son de convolución. Sun núcleos son funciones a valores matriciales y bi-equivariantes por la acción de K. Para lograr una diagonalización simultánea es necesario que los operadores conmuten. Como la composición de tales operadores se identifica con el producto de convolución de sus núcleos, será de particular interés el álgebra de convolución que conforman dichos núcleos. Esta tesis se focaliza en determinar ejemplos particulares de grupos G, K y representaciones irreducibles de K tales que dicha álgebra sea conmutativa para luego poder desarrollar el análisis esférico, esto es, dar una descripción explícita de las funciones esféricas y de la transformada de Fourier esférica.

Let G be a group of Lie and K a compact subgroup of G. This thesis is motivated by the problem of simultaneous diagonalization of all linear and continuous operators applied to the space of sections of each homogeneous vector bundle on G/K that are invariant under the action of G. As a consequence of the Schwartz's kernel theorem, all these G-invariant operators are convolutional. Their kernels are matrix-valued functions and bi-equivariants by the action of K. To achieve a simultaneous diagonalization it is necessary for operators to commute. The composition of such operators is identified with the convolution product of their kernels. We will pay attention to that convolution algebra of matrix-valued functions of G. This thesis focuses on giving examples of groups G, K and irreducible representations of K for which such algebra is a commutative and then develop the spherical analysis, that is, give an explicit description of the spherical Fourier transform.