Análisis armónico de funciones matriciales en el plano hiperbólico complejo

Abstract

En este trabajo determinamos todas las funciones esféricas irreducibles Φ de cualquier K-tipo asociadas a los pares simétricos duales (G,K) = (SU(3), U(2)) y (SU(2, 1), U(2)). Esto se logra asociando a Φ una función a valores vectoriales H = H(u) de una variable real u, analítica en u = 0, que es autofunción simultánea de dos operadores diferenciales de segundo orden con coeficientes matriciales. Uno de ellos viene del operador de Casimir de G y probamos que es conjugado a un operador hipergeométrico matricial, lo que nos permite expresar la función H es términos de la función hipergeométrica matricial. Para el par compacto (SU(3), U(2)) este proyecto fue iniciado en [GPT02a]. Obtenemos la expresión explícita de una familia de polinomios ortogonales matriciales {Pn}n, con respecto a un peso a un peso W, que son autofunciones de un operador diferencial de segundo orden D. El peso W y el operador diferencial D se encuentran en [PT06], usando algunos aspectos de la teoría de funciones esféricas asociadas a los espacios proyectivos comoplejos. También encontramos otro operador diferencial de segundo orden E simétrico con respecto a W y describimos el álgebra generada por D y E. Estudiamos la transformada esférica para cualquier K-tipo de un grupo localmente compacto G. Esta generaliza la definición introducida por Camporesi en [Cam97]. Obtenemos la correspondiente fórmula de inversión a partir de la fórmula de Plancherel sobre G. Finalmente explicitamos los resultados obtenidos anteriormente para el grupo G = SU(2, 1) y K = U(2) en términos de las funciones hipergeométricas matriciales 2H1.