Álgebras de Hopf en la categoría de Verlinde

Abstract

En este trabajo se presenta la categoría de Verlinde. Se comienza con los conceptos de categoría tensorial simétrica, morfismos negligibles y semisimplificación de una categoría, para luego llegar a las siguientes preguntas: ¿cuáles son todas las categorías tensoriales simétricas?, ¿la característica del cuerpo cumple un papel importante? y ¿hay objetos distinguidos dentro de estas categorías como por ejemplo álgebras de Hopf? En búsqueda de respuestas a estos interrogantes aparece la categoría de Verlinde que se obtiene como la semisimplificacion de la categoría de representaciones del grupo cíclico de p elementos. A lo largo de todo el desarrollo habrá muchos ejemplos que explican los conceptos mencionados y se presentarán teoremas actuales que muestran la importancia de la categoría de Verlinde. Por último se verá la construcción de álgebras de Hopf tanto en la categoría de representaciones como en la categoría de Verlinde.

In this monograph the Verlinde category will be presented. We will begin with the concepts of symmetric tensor categories, negligible morphisms and the semisimplification of a category, to then arrive to the following questions: which are all the symmetric tensor categories?, does the characteristic of the field play an important role? and are there any distinguished objects like Hopf algebras in these categories? In search of answers to these questions we build the Verlinde category as the semisimplification of the category of representations of the cyclic group of p elements. Throughout this monograph there will be many examples explaining all the mentioned concepts and we will present theorems that reflect the importance of the Verlinde category. Lastly we will see how to construct Hopf algebras in both the category of representations and the Verlinde category.