Procesos de memoria en sistemas con distribuciones de Zipf-Pareto

Abstract

Estudios recientes realizados en una base de datos de Ajedrez cronológicamente ordenada, han mostrado que la distribución de popularidades de líneas de juego de Ajedrez se ajusta a una ley de Zipf. La ley de Zipf es común a muchos sistemas y es usualmente observada en conjunto con efectos de memoria tales como correlaciones de largo alcance y burstiness. Sin embargo los modelos existentes que estudian estos fenómenos no dan cuenta simultáneamente con la ley de Zipf y los efectos de memoria. En este trabajo de tesis, mediante una variante del modelo de crecimiento preferencial de Yule-Simon, introducido por Cattuto et al., se provee una explicación de la aparición simultanea de la ley de Zipf y los efectos de memoria en forma de correlaciones de largo alcance en la base de datos de Ajedrez. Se encuentra que el modelo de Cattuto et al. es capaz de reproducir ambos fenómenos, la ley de Zipf y las correlaciones de largo alcance, incluyendo además los efectos de tamaño del exponente de Hurst de las correspondientes series temporales. Más aún, se encuentra burstiness en la actividad de los grupos de jugadores más activos, aunque la actividad agregada del conjunto completo de jugadores presenta una distribución de tiempos entre eventos sin burstiness. Dado que el modelo de Cattuto et al. no es capaz de producir series temporales con comportamiento ’bursty ’, se realiza una modificación al núcleo de memoria que permite lograr una dinámica bursty. Introduciendo un núcleo de memoria finito, se mantiene el comportamiento de ley de potencia en la distribución de popularidades y, al mismo tiempo se obtienen series temporales que presentan burstiness como consecuencia de una transición de fase, en la cual, en el estado crítico, la dinámica está dominada por las fluctuaciones.

Recent works studying a chronologically sorted chess database have shown that the popularity distribution of opening lines in the game of chess follow a Zipf law. Zipf law is common to many systems and is usually observed together with memory effects, such as long-range correlations and burstiness. Nevertheless, existing models that study these phenomena do not account for the Zipf’s law and memory effects simultaneously. In this thesis, using a variant of the Yule-Simon preferential growth model, introduced by Cattuto et al., we provide an explanation of the simultaneous emergence of Zipf’s law and memory effects in the form of long-range correlations in the chess database. We find that Cattuto’s model is able to reproduce both phenomena, Zipf’s law and the long-range correlations., including the size effects displayed by the Hurst exponent of the corresponding time series. Furthermore, we find burstiness in the activity of the most active players, although the aggregated activity of all players in the database presents an interevent time distribution without burstiness. Since Cattuto’s model is not able to generate times series with a bursty behavior, we made a modification to the memory kernel that allows a bursty dynamics. By introducing a finite memory kernel, we keep the power-law behavior in the popularity distribution and, at the same time, we obtain time series that present burstiness as a consequence of a phase transition in which, at the critical point, the dynamic is ruled by fluctuations.