Cálculo de Wirtinger y estadísitca de vectores aleatorios complejos

Abstract

En muchas aplicaciones prácticas trabajamos con funciones f que no son diferenciables en el sentido complejo. En estos casos, nuestra única opción es trabajar con las derivadas reales de u y v (donde u y v son las partes real e imaginaria de f ). Sin embargo, esto podría hacer que los cálculos de los gradientes sean engorrosos y tedioso. Para hacer frente a este problema, desarrollamos una formulación alternativa que, a pesar de que se basa en las derivadas reales, se asemeja mucho a la noción de la derivada compleja. De hecho, si f es diferenciable en el sentido complejo, las derivadas desarrolladas van a coincidir con las complejas. En el presente trabajo estudiamos con detalle esta idea. En el capítulo 1 consideramos los preliminares del campo complejo y nos ocupamos del Cálculo de Wirtinger para funciones de una variable compleja. En el capítulo 2 introducimos el concepto de variable aleatoria compleja y mostramos cómo los resultados del capítulo anterior conducen a la derivación y caracterización de las cantidades de una variable aleatoria compleja tales como momentos, cumulantes y circularidad. Finalmente en el capítulo 3 estudiamos los vectores aleatorios complejos y caracterizamos sus propiedades estadísticas de segundo orden. Además presentamos dos distribuciones importantes: la distribución Gaussiana compleja y su generalización, la distribución elíptica compleja.