El teorema de De Rham y aplicaciones

Abstract

El famoso Teorema de De Rham establece un isomorfismo entre los grupos de cohomología de De Rham y los grupos de cohomología singular de una variedad diferenciable M. Estos pueden ser “detectados” mediante formas diferenciales. En particular, la cohomología de De Rham de una variedad diferenciable es un invariante topológico. Este teorema fue propuesto como una conjetura por Elie Cartan en un artículo de 1928, y poco después fue probado por Georges De Rham. En este trabajo se dar´a una demostración de dicho teorema, estudiando todos los conceptos necesarios de topología algebraica y variedades diferenciales para que esta demostración sea autocontenida. A continuación, daremos las siguientes aplicaciones de este teorema: 1. El grado de una función. 2. Expresión integral del “linking number” de un enlace de nudos (según Gauss). 3. El invariante de Hopf para funciones diferenciables de la 3-esfera a la 2-esfera. 4. El producto triple de Massey, y aplicaciones a la teoría de variedades formales. Se darán ejemplos con sus cálculos correspondientes.

The famous De Rham Theorem establishes an isomorphism between De Rham cohomology groups and groups of singular coho mo lo gy of a differentiable manifold M. These can be “detected” by differential forms. In particular, the De Rham cohomology of a differentiable manifold is a topological invariant. This theorem was conjectured by Eli Cartan in 1928, and shortly after it was proved by Georges De Rham. In this work a demonstration of this theorem will be given, as well as the necessary back-ground of algebraic topology and differentiable manifolds for this proof to be self-contained. Next, we will give the following applications of this theorem: 1. The degree of a function. 2. Integral expression of the “linking number” of a node link (according to Gauss). 3. The Hopf invariant for differentiable functions from the 3-sphere to the 2-sphere. 4. The Massey triple product and applications to the theory of formal manifolds. Examples will be given with their corresponding calculations.