Problemas de Riemann-Hilbert para polinomios ortogonales matriciales y funciones de Szegö

Abstract

La caracterización de toda familia de polinomios ortogonales matriciales en un intervalo de la recta real en términos de un problema de Riemann-Hilbert es una herramienta poderosa para el análisis asintótico de estas familias. Una pieza fundamental en este análisis es la llamada función de Szegö matricial que está caracterizada como la solución de un problema de frontera en el plano complejo. Esta función de Szegö matricial está íntimamente relacionada con la factorización de Wiener-Hopf de la medida de ortogonalidad de los polinomios ortogonales. En este trabajo estudiamos esta factorización de Wiener-Hopf y construcciones explícitas de ella para familias específicas y relevantes de polinomios ortogonales matriciales.

The characterization of any family of matrix valued orthogonal polynomials on an interval of the real line in terms of a Riemann-Hilbert problem is a powerful tool for the asymptotic analysis of these families. A fundamental piece in this analysis is the so-called matrix Szegö function, which is characterized as the solution of a boundary problem in the complex plane. This matrix Szegö function is closely related to the Wiener-Hopf factorization of the orthogonality measure of the orthogonal polynomials. In this work, we study this Wiener-Hopf factorization and explicit constructions of it for specific and relevant families of matrix orthogonal polynomials.