Estabilidad y límite parabólico de sistemas hiperbólicos cuasi lineales disipativos

Abstract

En este trabajo se estudian dos aspectos básicos del problema de Cauchy de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales de primer orden; estos son el límite parabólico y la estabilidad de soluciones cercanas a equilibrio. Este estudio es de interés en física debido a que muchos procesos disipativos están descriptos mediante sistemas de ecuaciones hiperbólicas cuasi lineales y bajo ciertos regímenes, los mismos procesos están bien descriptos por ecuaciones parabólicas. En la primera parte de este trabajo se estudia el límite parabólico del sistema hiperbólico de conducción de calor dado por las ecuaciones de conservación de la energía y la ecuación de Cattaneo. Se prueba, en el caso lineal, que las soluciones hiperbólicas tienden suavemente a las parabólicas de la teoría usual de Fourier, cuando el tiempo de relajación :xxxx; de la ecuación de Cattaneo tiende a cero. En el caso cuasi lineal (ecuaciones de Coleman, Fabrizio y Owen) se obtiene un resultado análogo perro de validez solo local en el tiempo. En el segundo lugar, utilizando un funcional energía similar al introducido por Matsumura, se prueba existencia global y decaimiento exponencial a equilibrio de las soluciones del sistema cuasi lineal de conducción de calor de Morro y Ruggeri. Hasta este punto del trabajo, los estudios se centraron en sistemas de ecuaciones particulares. En la última parte del trabajo se estudia la existencia global y estabilidad cercana a equilibrio para sistemas generales, cuasi lineales, disipativos, de primer orden. Se introduce una condición de estabilidad tal que el problema de Cauchy para el el caso de coeficientes constantes es una contracción en una norma equivalente a la norma Lsub2. Luego se encuentran condiciones de suficiencia bajo las cuales se puede construir, con el auxilio de la teoría de operadores pseudo diferenciales, una norma H tal que el problema Cauchhy para el caso de coeficientes variables es una contracción en esta norma. Finalmente, a partir de los resultados previos, se trata el caco cuasi lineal general y se obtiene un teorema que puede considerarse una generalización al caso de derivadas parciales del teorema de estabilidad de Lyapunov.