Teoría y simulaciones en hidrodinámica ultrarrelativista y electrodinámica no lineal

Abstract

En esta tesis abordamos el estudio de ciertos sistemas hiperbólicos clásicos sobre espacio-tiempos curvos. La herramienta fundamental que empleamos a tal fin es la teoría de ecuaciones en derivadas parciales, enfatizando en aquellas condiciones algebraicas que permiten analizar el problema de valores iniciales correspondiente. En primer lugar, estudiamos el problema de Cauchy de una extensión no lineal del Electromagnetismo clásico, conocida como “Electrodinámica Force-Free”. Formulamos la teoría en términos de solo dos potenciales escalares, a fin de proveer una implementación numérica sencilla. Demostramos, no obstante, que dicha formulación resulta débilmente hiperbólica, y por lo tanto no propicia para tal fin. En segundo lugar, desarrollamos una teoría simétrico-hiperbólica que permite describir la dinámica de fluidos disipativos ultraveloces. El desarrollo de esta teoría se basa en la obtención de una única familia de funciones generatrices que contienen toda la información de la dinámica del fluido. En esta tesis damos condiciones necesarias y suficientes para garantizar hiperbolicidad simétrica alrededor de estados de equilibrio, considerando efectos disipativos hasta segundo orden. Finalmente, abordamos el problema de la implementación numérica de la teoría de fluidos desarrollada, basados en el método centrado de Kurganov y Tadmor para el tratamiento y propagación de choques. Desarrollamos simulaciones con diferentes configuraciones para el caso unidimensional, logrando evaluar la validez del código en regímenes intensos.

In this thesis we study certain classic hyperbolic systems over curved space-times. The fundamental tool we implement for this purpose is the theory of partial differential equations, emphasizing in those algebraic conditions that allow us to address the corresponding initial value problem. First, we study the Cauchy problem of a non-linear extension of classical Electromagnetism, known as "Force-Free Electrodynamics". We formulate the theory in terms of only two scalar potentials, in order to provide a simple numerical implementation. We show, however, that this formulation is weakly hyperbolic, and therefore not suitable to that end. Secondly, we develop a symmetric-hyperbolic theory in order to describe the dynamics of ultra-relativistic dissipative fluids. The development of this theory is based on obtaining a single family of generating functions that contain all the information of the fluid dynamics. In this thesis we give necessary and sufficient conditions to guarantee symmetric hyperbolicity around equilibrium states, considering dissipative effects up to second order. Finally, we address the problem of the numerical implementation of the theory, based on the centered Kurganov -Tadmor's method for the treatment and propagation of shocks. We develop simulations with different configurations for the one-dimensional case, with the aim to evaluate the validity of the code in intense regimes.