Geometría del plano hiperbólico

Abstract

En este trabajo estudiamos la geometría del plano hiperbólico siguiendo un esquema axiomático similar al de la geometría euclídea. Ambas geometrías coinciden en sus bases, salvo por reemplazar el Axioma de las paralelas o Postulado V de Euclides. Este cambio genera una geometría muy rica, que abre un nuevo mundo en donde los triángulos tienen suma de ángulos interiores menor que 180°, existen rectas paralelas asintóticas y hay pentágonos con todos sus ángulos rectos. Usamos el modelo del semiplano superior para desarrollar los elementos básicos: distancia, trigonometría, área y circunferencias. A lo largo del trabajo, estuvimos guiados por las siguientes preguntas: ¿Cuáles teoremas conocidos se siguen cumpliendo? ¿Hay resultados completamente diferentes a los de la geometría euclídea? Para concluir, haremos una breve mención a los hexaframes, que son una generalización de los hexágonos rectangulares en el espacio hiperbólico.

In the present work we study the hyperbolic plane geometry. We follow an axiomatic approach, similar to the one used in euclidean geometry. Both geometries share their bases with the exception of the parallel postulate, also called Euclid’s fifth postulate. This change generates a really rich geometry. It opens up a world of possibilities, where the sum of the angles of a triangle is always strictly less than 180°, there exist asymptotic parallel lines, and there are right-angled pentagons. We use the Poincaré half-plane model to develop the basic elements in geometry: distance, trigonometry, area and circles. Throughout this work, the following questions have been guiding us: Which well known theorems are still true? Is there any result completely different from the ones in euclidean geometry? To conclude, we will briefly mention the hexaframes, a generalization of the right-angled hexagons in the hyperbolic space.