Grupos de Bieberbach y holonomía de solvariedades planas

Abstract

Una solvariedad es una variedad compacta de la forma L/G donde G es un grupo de Lie soluble simplemente conexo y L es un retículo de G. En este trabajo estudiamos solvariedades equipadas con una métrica riemanniana plana, a partir de la caracterización dada por Milnor de los grupos de Lie que admiten una métrica riemanniana invariante a izquierda plana. Las solvariedades planas son ejemplos de variedades compactas planas, por lo cual podemos aplicar los teoremas clásicos de Bieberbach para describir el grupo fundamental L de la variedad L/G. En particular, todo grupo de Bieberbach posee un subgrupo abeliano maximal de índice finito. Más aún, el cociente del grupo L por este subgrupo es finito y se identifica con la holonomía riemanniana de la variedad compacta plana. Probamos primero que el grupo de holonomía riemanniana de cualquier solvariedad plana es abeliano y que todo grupo abeliano finito se puede obtener así. Luego, nos restringimos al caso de grupos de Lie casi abelianos, para los cuales hay un criterio para determinar la existencia de retículos, el cual utilizamos para clasificar las solvariedades planas en dimensión 3, 4 y 5. Para dimensiones mayores, probamos que para todo n>2 la dimensión mínima de una variedad compacta plana con grupo de holonomía Z_n coincide con la dimensión mínima de una solvariedad plana con grupo de holonomía Z_n.

A solvmanifold is a compact manifold L/G where G is a simply connected solvable Lie group and L is a lattice of G. In this article we study solvmanifolds equipped with a flat Riemannian metric, according to Milnor's characterization of Lie groups that admit a flat left invariant metric. Flat solvmanifolds are examples of compact flat manifolds, so we can apply the classic theory of Bieberbach groups to describe the fundamental group L of the manifold L/G. In particular, every Bieberbach group has a maximal normal abelian subgroup which has finite index. Fruthermore, the quotient of the group L by this subgroup is finite and can be with the riemannian holonomy group of the compact flat manifold. First, we prove that the holonomy group of every flat solvmanifold is abelian and, conversely, that every finite abelian group can be obtained as a holonomy group of a flat solvmanifold. Then, we focus on almost abelian Lie groups, for which there is a well known criterion to determine the existence of lattices that we use to classify flat solvmanifolds of dimension 3, 4 and 5. Concerning arbitrary dimensions, we prove that for every n>2 the minimum dimension of a compact flat manifold with holonomy group Z_n is equal to the minimum dimension of a flat solvmanifold with holonomy group Z_n.