Estimación robusta multivariada en 
presencia de datos faltantes
Martín Marfia, Nadia L. Kudraszow
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Internacional
ESTIMACIÓN ROBUSTAMULTIVARIADA EN PRESENCIA DE DATOS
FALTANTES
MARTÍN MARFIA† & NADIA L. KUDRASZOW‡†Depto. de Cs. Básicas - Facultad de Ingeniería - UNLP , ‡CMaLP - UNLP - CONICET
1. RESUMEN
Nuestro objetivo es proponer una generalización
del estimador de tipo MM [1] para el modelo de
posición y escala multivariado que sea capaz de
enfrentar los dos problemas más comunes en la
calidad de un conjunto de datos: los datos atípi-
cos y la presencia de datos faltantes. Para ello,
nuestro enfoque es considerar como estimador de
escala inicial la escala de las distancias de Ma-
halanobis parciales del S-estimador generalizado
[2], y usarlo como punto de partida para calcu-
lar un M-estimador cuya función rho tiene un
parámetro para controlar la eficiencia.
Palabras clave: datos faltantes, estimación ro-
busta.
2. INTRODUCCÍON
Para 1 ≤ i ≤ n, sean xi = (xi1, . . . , xip)>,
vectores aleatorios de dimensión p (iid) y ui =
(ui1, . . . , uip)
> , vectores (iid) e independientes de
los xi compuestos por unos y ceros: xij fue obser-
vada cuando uij = 1. Sea x(u) la parte de x que
fué observada y sea p(u) =
∑p
j=1 uj .
Llamamos Σ(u) a la submatriz de Σ correspondi-
ente a las entradas no nulas de u y m(u) ∈ Rp(u) al
correspondiente subvector de m ∈ Rp. Además,
sea Σ∗(u) = Σ(u)/|Σ(u)|1/p(u) y d(x,m,Σ) = (x−
m)>Σ−1(x − m) la distancia de Mahalanobis al
cuadrado entre x y m. Finalmente, ρ1 = ρ(t/c)
donde ρ es una ρ−función y c es una constante
elegida para controlar la eficiencia.
5. RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN
A la izquierda se muestran las distancias LRT
promedio en función del k, de los siguientes esti-
madores :
1. EM, el estimador gaussiano.
2. EMVE, el S estimador extendido para datos
faltantes.
3. GSE, el S estimador generalizado con EMVE
como estimador inicial.
4. GMM, nuestro estimador propuesto, usando
una ρ función bicuadrada.
Notamos un buen desempeño de nuestra pro-
puesta tanto en los distintos escenarios bajo con-
taminación como en la eficiencia relativa al EM sin
contaminación (ver Tabla 1).
Tabla 1:
REFERENCIAS
[1] D. E. Tatsuoka, K. S. y Tyler. The uniqueness of
s and m-functionals under non-elliptical distribu-
tions. The Annals of Statistics, 28, 1219-1243., 2000.
[2] Yohai V. y Zamar R. Danilov M. Robust estimation
of multivariate location and scatter in the presence
of misssing data. Journal of the American Statistical
Association,107:499, 1178-1186., 2014.
7. BUSQUEDAS A FUTURO
Queremos estudiar las propiedades asintóticas
(consistencia y normalidad asintótica) del esti-
mador propuesto.
Este método puede utilizarse para el caso en que
la contaminación no es por observaciones sino por
celda (cell-wise) eliminando las celdas contami-
nadas identificadas mediante un método de de-
tección y luego aplicando el MM-estimador para
datos faltantes.
CONTACTO
Mail: martin.marfia@ing.unlp.edu.ar
6. EJEMPLO CON DATOS REALES
Se eliminaron al azar, con probabilidad 0.2, en-
tradas del data set wine (del paquete RobStatTM
de R) que contiene para 59 vinos cultivados en la
misma región de Italia, las cantidades de 13 com-
ponentes. En el gráfico se comparan las distancias
de Mahalanobis ajustadas d∗ = (χ213)−1(χ2q(d))
donde d es la distancia parcial de una fila con q
entradas observadas de 13, obtenidas con el esti-
mador gaussiano EM (arriba) y nuestro estimador
propuesto (abajo), y χ2p es la función de distribu-
ción χ2 con p grados de libertad. Observamos que
el estimador gaussiano no detecta datos atípicos,
mientras que nuestra propuesta detecta 8. Se con-
sideraron como datos atípicos las observaciones
con distancia ajustada mayor a (χ213)−1(0.999).
3. ESTIMADOR MM
Proponemos usar como estimador inicial los esti-
madores de posición y escala GSE,
(
mˆGS, ΣˆGS
)
,
de [2] y luego consideramos la solución de(
mˆR, ΓˆR
)
= arg min
m,|Σ|=1
TR (m,Σ) ,
ΣˆR = σˆGSΓˆR,
donde σˆGS =
∣∣∣ΣˆGS∣∣∣1/p y TR (m,Σ) =
1
n∑
j=1
cp(ui)
n∑
i=1
cp(ui)ρ1
d
(
x
(ui)
i ,m
(ui),Σ∗(ui)
)
σˆuicp(ui)

donde σˆui =
∣∣∣Σˆ(ui)GS ∣∣∣1/p(ui) para i = 1, . . . , n.
4. ESTUDIO DE SIMULACIÓN
Generamos muestras de tamaño n = 100 de una
Np(0,Σ). Como el estimador es escala equivari-
ante pero no afín equivariante asumimos Σii =
1 y Σij = r para i 6= j y tomamos r =
0.6, 0.7, 0.8, 0.9. Introdujimos 10% de contami-
nación puntual a k distancias de Mahalanobis del
0 (k = 1, . . . , 12) en la dirección del autovector de
Σ con autovalor más chico. Se ha observado em-
píricamente que esta es la posición menos favor-
able para ubicar datos atípicos . El porcentaje de
datos faltantes se fijó en 10% (otras proporciones
dieron patrones similares). El número de répli-
cas fué N = 1000. La performance de cada Σˆn se
midió usando el promedio sobre las réplicas del
LRT (Σ,Σ0) = tr(ΣΣ
−1
0 ) − log det(ΣΣ−10 ) − p. Se
calcularon además las eficiencias relativas mues-
trales con respecto al estimador EM basado en el
promedio de las distancias LRT cuando hay 10%
de datos faltantes y no hay datos atípicos.