Estudio de las propiedades de estados fundamentales de cadenas de espín usando estados variacionales basados en estados de grafo ponderado
Date
2023-12Author
Magallanes Saunders, Reinaldo
Advisor
Osenda, Omar
Metadata
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La dimensionalidad del espacio de Hilbert asociado a sistemas cuánticos de espín es uno
de los mayores obstáculos que se presentan en los métodos de cálculo desarrollados para
el estudio de estos sistemas. Muchos de estos métodos buscan formas de describir sistemas
cuánticos de espín mediante parametrizaciones eficientes de subespacios de Hilbert en donde
se pueden encontrar estados de interés.
En este trabajo se hace uso de estados basados en estados de grafo ponderado para el
cálculo variacional de la energía del estado fundamental de distintos sistemas cuánticos de
espín. La cantidad de parámetros necesarios para describir estos estados crece
polinomialmente con el número de espines y, a diferencia de métodos como el método de
Rayleigh-Ritz, estos estados dependen de los parámetros variacionales de forma no lineal.
Para la implementación del método variacional se utilizaron algoritmos escritos en
Python para evaluar el valor de expectación del Hamiltoniano y funciones de correlación, y
las minimizaciones para encontrar el valor óptimo de la energía se realizaron utilizando
librerías estándar de cálculo numérico en Python. Para comparar con los resultados, se
obtuvieron valores de referencia dados por resultados teóricos, por diagonalización de la
matriz del Hamiltoniano a través del algoritmo de Lanczos, y mediante simulaciones
numéricas de sistemas de espín con librerías de Python especializadas.
Se estudiaron distintos modelos, principalmente el modelo XY pero también modelos
poco convencionales como el modelo extendido de Ising con interacciones a pocos vecinos.
Se muestra que los valores obtenidos para la energía del estado fundamental muestran un
acuerdo muy bueno con los valores de referencia solo en algunos casos. Se introdujeron
modificaciones al método, como restricciones a la minimización del valor de expectación
del Hamiltoniano y diferentes parametrizaciones para los estados variacionales, con el
objetivo de mejorar el acuerdo con los valores de referencia. Aunque estas modificaciones
no permitieron encontrar estimaciones de la energía que estén de acuerdo con los valores
de referencia en las regiones problemáticas, sí presentaron mejoras leves y hacen posible
identificar la presencia de puntos críticos de los modelos observando el comportamiento de
las funciones de correlación.
One of the major obstacles that arise in numerical methods for the treatment of quantum
spin systems is the dimensionality of the associated Hilbert space. Many of these methods
seek parametrizations of Hilbert subspaces where physical quantum states can be found in
order to efficiently describe these systems.
In this work, states based on weighted graph states are used for variational calculations
of the ground state energy of several quantum spin systems. The number of parameters
necessary to describe these states has polynomial growth in the total number of spins and,
in contrast with methods such as the Rayleigh-Ritz method, these states exhibit a non-linear
dependence on the variational parameters.
The variational method was implemented via algorithms written in Python to evaluate
the expectation value of the Hamiltonian and spin-spin correlation functions, while standard
Python libraries for numerical computing were used to perform energy minimizations to find
its optimal value. Theoretical results, numerical diagonalizations of the Hamiltonian matrix
via the Lanczos algorithm, and Python libraries for simulating quantum spin systems were
used to obtain reference values that the values obtained via the variational method could be
measured against.
Different spin models were studied, mainly the XY model, but also, to a lesser extent,
slightly unconventional models such as the extended Ising model with few-neighbor
interactions. It is shown that agreement between reference values and variational results for
the ground state energy is spotted only in some cases. Several modifications to the method
were introduced, such as restricted minimizations of the expectation value of the
Hamiltonian and different variational state parametrizations, with the hope of obtaining
results that better align with the reference values. Even though agreement between energy
estimations and reference values wasn’t achieved in these problematic regions, with these
modifications in place some improvement was seen and they allowed for critical points to
be identified via observation of the behaviour of spin-spin correlation functions.
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