Construcciones geométricas asociadas a álgebras de Lie conformes

Abstract

Así como las álgebras de Lie poseen álgebras asociativas universales envolventes, las álgebras de Lie conformes poseen álgebras de vértice universales envolventes. Motivados por esta analogía, en esta tesis definimos un objeto geométrico que se corresponde con un grupo de Lie en el contexto conforme, al cual llamamos “ind-esquema de vértice”. Primero abordamos este desafío en el nivel infinitesimal: definimos una “ley de vértice formal” como el análogo conforme de una ley de grupo formal, y demostramos versiones conformes de resultados clásicos tales como el teorema de Milnor-Moore, la dualidad de Cartier, y la equivalencia entre leyes de grupo formales y álgebras de Lie. Para poder definir el objeto globalmente recurrimos a la teoría de álgebras quirales desarrollada por Beilinson y Drinfeld, haciendo uso principalmente de las nociones de álgebra de factorización y OPE. Damos una prueba directa de la equivalencia entre álgebras de factorización y álgebras OPE sobre la recta afín. A continuación, definimos monoides OPE como cierta versión no lineal de las álgebras OPE, y adaptamos nuestra demostración del caso lineal para mostrar que las categorías de monoides OPE y monoides de factorización sobre la recta afín son equivalentes. Luego definimos ind-esquemas de vértice de forma tal que su relación con los monoides OPE sea la misma que la que existe entre las álgebras de vértice y las álgebras OPE, y mostramos que pueden considerarse análogos conformes de los grupos de Lie. Para finalizar, damos ejemplos de ind-esquemas de vértice relacionados con las álgebras de Lie conformes current y Virasoro, y probamos que para toda álgebra de Lie conforme nilpotente existe un ind-esquema de vértice que la tiene como álgebra de Lie conforme tangente.

Just as Lie algebras have universal enveloping associative algebras, Lie conformal algebras have universal enveloping vertex algebras. Motivated by this analogy, in this thesis we define a geometric object which corresponds to a Lie group in the conformal context, which we call "vertex ind-scheme". We first approach this task at the infinitesimal level: we define a "formal vertex law" as the conformal analogue of a formal group law, and we prove conformal versions of classical results such as the Milnor-Moore theorem, Cartier duality and the equivalence between formal group laws and Lie algebras. In order to define the object globally we turn to the theory of chiral algebras developed by Beilinson and Drinfeld, mostly using their notions of factorization and OPE algebras. We give a direct proof of the equivalence between factorization and OPE algebras over the affine line. Afterwards, we define OPE monoids as a certain non-linear version of OPE algebras, and we adapt our proof of the linear case in order to show that the categories of OPE monoids and factorization monoids over the affine line are equivalent. We then define vertex ind-schemes so that their relation with OPE monoids is the same as the one between vertex and OPE algebras, and we show that they can be considered conformal analogues of Lie groups. Finally, we provide examples of vertex ind-schemes related to the current and Virasoro Lie conformal algebras, and we prove that for any nilpotent Lie conformal algebra there exists a vertex ind-scheme for which it is its tangent Lie conformal algebra.