Estructura de álgebra de Poisson de la cohomología de ciertas álgebras de Lie nilpotentes

Abstract

Si g es un álgebra de Lie, la cohomología H**(g) tiene una estructura de súper-álgebra de Poisson con producto asociativo súper-conmutativo V y un súper-corchete de Lie {-,-} que se compatibiliza con el producto \vee en el sentido que lo súper-deriva. El objetivo de esta tesis es estudiar la estructura de álgebra de súper-Poisson de H** para ciertas álgebras de Lie nilpotentes g. Esto incluye la estructura de Der(g)-módulo y de la acción central, noción originalmente definida para la cohomología trivial H*(g) y que en esta tesis se extiende su definición aH**(g). Si Der(g)=Sl(2)xV(n), donde V(n) es el Sl(2)-módulo irreducible de peso máximo n, entonces una familia ideal de álgebras de Lie nilpotentes a considerar está dada por las álgebras de Lie k-pasos nilpotentes libres en 2 generadores. Aquí fueron consideradas principalmente el álgebra de Heisenberg h1 y el álgebra de Lie 3-pasos nilpotentes libre f32. Una característica distintiva que hacemos en la descripción de la estructura de Poisson es aprovechar la estructura de Gl(2)-módulo. Para ello, introducimos el concepto de G-tabla de un álgebra arbitraria A, la cual brinda una muy detallada información sobre la estructura del álgebra. Luego de explicar este concepto y calcular las G-tablas de ejemplos básicos, desarrollamos todo el trabajo para calcular las GL(2)-tablas de las álgebras de Poisson Hdiag y HE en los casos particulares ya mencionados. En este proceso, definimos una familia de álgebra de Poisson con álgebra de Lie subyacente Gl(n)xGl(n)ab. Para n=3 obtenemos la cohomología HE de h1

If g is a Lie algebra, the cohomology H**(g) has a Poisson super-algebra structure with a super-commutative associative product V and a Lie super-bracket {-,-} that is compatible with the product \vee in the sense that it super-derives it. The purpose of this thesis is to study the structure of the super-Poisson algebra of H**(g) for certain nilpotent Lie algebras g. This includes the structure of Der(g)-module and of the central action, notion originally defined for the trivial cohomology H*(g) and that we extend its definition to H**(g). If Der(g)=Sl(2)xV(n), where V(n) is the irreducible Sl(2)-module of highest weight n, then an ideal family of nilpotent Lie algebras to consider is given by the free k-steps nilpotent Lie algebras on 2 generators. Here we consider the Heisenberg algebra h1 and the free 3-step nilpotent Lie algebra f32. A distinctive property that we make in the Poisson structure description is to take advantage of the Gl(2)-module structure. Therefore, we introduce the concept of a G-table for an arbitrary algebra A, which provides very detailed information about the structure of the algebra. After explaining this concept and computing the G-tables of basic examples, we develop all of the work to compute the GL(2)-tables of the Poisson algebras Hdiag and HE in the particular cases mentioned above. In this process, we define a family of Poisson algebras with underlying Lie algebras Gl(n)xGl(n)ab. For n=3 we obtain the cohomology HE of h1.