Datos iniciales para agujeros negros extremos

Abstract

Este trabajo está enmarcado en el problema general de determinar cuáles datos semilla se mapean a datos iniciales físicos en variedades con finales asintóticamente cilíndricos y asintóticamente planos. Este tipo de datos iniciales describen agujeros negros con máximos valores de carga y momento angular por unidad de masa. El problema es de gran interés, no sólo teórico, sino también práctico, por su posterior evolución y estudio de colisiones de agujeros negros, emisión de ondas gravitacionales, etc. El objetivo central de este trabajo es explorar la existencia de datos iniciales para las ecuaciones de Einstein que describan agujeros negros extremos sin el requisito a priori de que pertenezcan a la clase Yamabe positivo. Esto se traduce en considerar métricas semilla que tengan escalar de curvatura no positivo en alguna región de la variedad. Para ello estudiamos la existencia de datos iniciales tipo trompeta en el caso CMC (Curvatura Media Constante) maximal, el caso CMC no maximal y finalmente, de mayor interés para nosotros, en el caso no CMC. El sistema de ecuaciones de vínculo en esta situación es complejo porque consiste de 4 ecuaciones acopladas no lineales con un comportamiento asintótico singular en uno de los finales de la variedad. Prestamos especial atención al efecto de un escalar de curvatura no positivo, sobre la existencia de soluciones. Probamos existencia de sub y supersoluciones de las ecuaciones de vínculo bajo diferentes condiciones tanto para la métrica de background como para los demás elementos del dato inicial semilla.

This work is framed in the general problem of determining which background data is mapped to physical initial data in manifolds with asymptotically cylindrical and asymptotically flat ends. This type of initial data describes black holes with maximum values of charge and angular momentum per unit mass. The problem is of great interest, not only theoretical, but also numerical, due to its subsequent evolution and study of black hole collisions, emission of gravitational waves, etc. The main objective of this work is to explore the existence of initial data for the Einstein equations which describe extreme black holes without the requirement that they belong to the positive Yamabe class. Namely considering seed metrics that have a non-positive curvature scalar in some region of the manifold. For this we study the existence of initial trumpet-like data in the maximal CMC case, the non-maximal CMC case and finally, of greater interest to us, in the non-CMC case. The system of constraint equations in this situation is complex because it consists of 4 non-linear coupled equations, with singular asymptotic behavior at one end of the manifold. We pay special attention to the effect of a non-positive scalar of curvature on the existence of solutions. We prove the existence of sub and supersolutions of the constraint equations under different conditions both for the background metric and for the other elements of the initial seed data.