Álgebras de Nichols de tipo diagonal

Abstract

Esta tesis trata sobre la presentación de las álgebras de Nichols de tipo diagonal y su relación con las álgebras de Hopf punteadas. Usamos la definición de grupoide de Weyl y analizamos órdenes convexos para el sistema de raíces asociado a un álgebra de Nichols de tipo diagonal para describir propiedades de bases PBW encontradas por Kharchenko, para obtener un conjunto de relaciones que generan el ideal de relaciones del álgebra de Nichols sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0. Describimos dos familias importantes de espacios trenzados de tipo diagonal (y sus álgebras de Nichols): los de tipo estándar, relacionados con matrices de tipo finito, y los de tipo super, relacionados con super álgebras de Lie contragradientes semisimples. Obtenemos una presentación con cantidad mínima de relaciones de las álgebras de Nichols. Probamos luego que toda álgebra de Hopf de dimensión finita sobre un grupo abeliano está generadas por sus elementos de tipo grupo y casi primitivos. Estudiamos álgebras cuasi-Hopf básicas radicalmente graduadas y sus correspondientes levantamientos para obtener la clasificación de las categorías tensoriales finitas punteadas cuyo grupo de elementos invertibles es cíclico, de orden coprimo con 2; 3; 5; 7.