Estudio de las propiedades de estados fundamentales de cadenas de espín usando estados variacionales basados en estados de grafo ponderado

Abstract

La dimensionalidad del espacio de Hilbert asociado a sistemas cuánticos de espín es uno de los mayores obstáculos que se presentan en los métodos de cálculo desarrollados para el estudio de estos sistemas. Muchos de estos métodos buscan formas de describir sistemas cuánticos de espín mediante parametrizaciones eficientes de subespacios de Hilbert en donde se pueden encontrar estados de interés. En este trabajo se hace uso de estados basados en estados de grafo ponderado para el cálculo variacional de la energía del estado fundamental de distintos sistemas cuánticos de espín. La cantidad de parámetros necesarios para describir estos estados crece polinomialmente con el número de espines y, a diferencia de métodos como el método de Rayleigh-Ritz, estos estados dependen de los parámetros variacionales de forma no lineal. Para la implementación del método variacional se utilizaron algoritmos escritos en Python para evaluar el valor de expectación del Hamiltoniano y funciones de correlación, y las minimizaciones para encontrar el valor óptimo de la energía se realizaron utilizando librerías estándar de cálculo numérico en Python. Para comparar con los resultados, se obtuvieron valores de referencia dados por resultados teóricos, por diagonalización de la matriz del Hamiltoniano a través del algoritmo de Lanczos, y mediante simulaciones numéricas de sistemas de espín con librerías de Python especializadas. Se estudiaron distintos modelos, principalmente el modelo XY pero también modelos poco convencionales como el modelo extendido de Ising con interacciones a pocos vecinos. Se muestra que los valores obtenidos para la energía del estado fundamental muestran un acuerdo muy bueno con los valores de referencia solo en algunos casos. Se introdujeron modificaciones al método, como restricciones a la minimización del valor de expectación del Hamiltoniano y diferentes parametrizaciones para los estados variacionales, con el objetivo de mejorar el acuerdo con los valores de referencia. Aunque estas modificaciones no permitieron encontrar estimaciones de la energía que estén de acuerdo con los valores de referencia en las regiones problemáticas, sí presentaron mejoras leves y hacen posible identificar la presencia de puntos críticos de los modelos observando el comportamiento de las funciones de correlación.

One of the major obstacles that arise in numerical methods for the treatment of quantum spin systems is the dimensionality of the associated Hilbert space. Many of these methods seek parametrizations of Hilbert subspaces where physical quantum states can be found in order to efficiently describe these systems. In this work, states based on weighted graph states are used for variational calculations of the ground state energy of several quantum spin systems. The number of parameters necessary to describe these states has polynomial growth in the total number of spins and, in contrast with methods such as the Rayleigh-Ritz method, these states exhibit a non-linear dependence on the variational parameters. The variational method was implemented via algorithms written in Python to evaluate the expectation value of the Hamiltonian and spin-spin correlation functions, while standard Python libraries for numerical computing were used to perform energy minimizations to find its optimal value. Theoretical results, numerical diagonalizations of the Hamiltonian matrix via the Lanczos algorithm, and Python libraries for simulating quantum spin systems were used to obtain reference values that the values obtained via the variational method could be measured against. Different spin models were studied, mainly the XY model, but also, to a lesser extent, slightly unconventional models such as the extended Ising model with few-neighbor interactions. It is shown that agreement between reference values and variational results for the ground state energy is spotted only in some cases. Several modifications to the method were introduced, such as restricted minimizations of the expectation value of the Hamiltonian and different variational state parametrizations, with the hope of obtaining results that better align with the reference values. Even though agreement between energy estimations and reference values wasn’t achieved in these problematic regions, with these modifications in place some improvement was seen and they allowed for critical points to be identified via observation of the behaviour of spin-spin correlation functions.