Soluciones positivas para problemas que involucran el ϕ-Laplaciano

Abstract

Sean Ω un dominio suave y acotado en RN, hλ: Ω x [0,∞) → R una función Carathéodory, λ>0 un parámetro real y ϕ: RN → RN una función continua estrictamente monótona. En esta tesis estudiamos la existencia de soluciones positivas a problemas del tipo -div ϕ(Du) = hλ(x,u) en Ω, u=0 en ∂Ω, con tres clases de no linealidades hλ distintas. En primer lugar, estudiamos una generalización de la ecuación logística, considerando hλ(x,u) = λm(x)f(u) - n(x)g(u) con f,g,m,n ≥ 0. En este caso obtenemos resultados de existencia y unicidad mediante el método de sub y supersoluciones y argumentos de comparación. En segundo lugar, estudiamos el problema unidimensional con hλ(x,u) = λm(x)f(u) para m en L¹(Ω) cuya parte positiva es no nula y f una función no negativa. En este caso consideramos tanto el caso sublineal como superlineal de f con respecto a ϕ. Los resultados de existencia para esta no linealidad se obtuvieron usando el Teorema de punto fijo de Krasnosel'skiĭ. Por último, estudiamos un problema unidimensional del tipo cóncavo-convexo donde consideramos la no linealidad hλ(x,u) = λm(x)f(u)+n(x)g(u) con m,n ≥ 0. Aquí f,g son funciones no negativas. Combinando el método de sub y supersoluciones y el teorema de punto fijo de Krasnosel'skiĭ, demostramos la existencia de dos soluciones positivas distintas para λ≈0.

Let Ω be a smooth bounded domain in RN, let hλ: Ω x [0,∞) → R be a Carathéodory, function, let λ>0 be a real parameter and let ϕ: RN → RN be a continuous and strictly monotone function. In this thesis we study the existence of positive solutions for problems of the form -div ϕ(Du) = hλ(x,u) in Ω, u=0 on ∂Ω with three different classes of nonlinearities. First, we study a generalization of the logistic equation, setting hλ(x,u) = λm(x)f(u) - n(x)g(u) with f,g,m,n ≥ 0. In this case we obtain existence and uniqueness results using the sub and supersolution method and comparison arguments. Second, we study the one-dimensional problem with hλ(x,u) = λm(x)f(u) for m in L¹(Ω) with nonzero positive part and f a nonnegative function. In this case we consider the sublinear and the superlinear cases of f with respect to ϕ. The existence results for this nonlinearities were obtained using the Krasnosel'skiĭ's fixed point Theorem. Finally, we study a one-dimensional problem of concave-convex type where we consider the nonlinearities hλ(x,u) = λm(x)f(u)+n(x)g(u) with m,n ≥ 0. Here f,g are nonnegative functions. Combining the sub and supersolution method and Krasnosel'skiĭ's fixed point Theorem, we demonstrate the existence of two different positive solutions for λ≈0.